01

举例说明

1、例：已知甲/乙=3/5，则：

（1）甲的人数是3的倍数。

（2）乙的人数是5的倍数。

（3）甲乙人数和是3+5=8的倍数。

（4）甲乙人数差是5-3=2的倍数。

（5）原因：虽然不知道甲、乙的具体人数，甲/乙=3x/5x=3/5，甲的人数为3x，3x是3的倍数；乙的人数为5x，5x是5的倍数；甲、乙人数和=3x+5x=8x，8x是8的倍数；甲、乙人数差=5x-3x=2x，2x是2的倍数。

2、题干中出现比例关系，且问题与其有关。结论：A/B=m/n（m、n互质，互质：没有公约数，如3/5（3和5没有公约数）、2/3（2和3没有公约数）、4/7（4和7没有公约数），即m/n为最简分数）。

（1）A是m的倍数。

（2）B是n的倍数。

（3）A+B是m+n的倍数。

（4）A-B是m-n的倍数。

02

实战演练

【例1】

某地区有甲、乙、丙、丁4个派出所。已知上月甲、乙2个派出所的合计出警次数是95次，乙、丙、丁3个派出所的合计出警次数是140次，乙派出所的出警次数占4个派出所合计出警次数的7/40，则上月甲派出所的出警次数是：

A.55次    

B.60次

C.68次    

D.75次

【解析】

所有数据都是上月的，没有时间陷阱。

【方法一】

题中出现比例（7/40），乙派出所的出警次数/4个派出所合计出警次数=7/40，已知甲派出所的出警次数+乙派出所的出警次数=95，即（95-甲派出所的出警次数）/4个派出所合计出警次数=7/40，（95-甲派出所的出警次数）是7的倍数。代入选项验证，A项：95-55=40，不是7的倍数，排除；B项：95-60=35，是7的倍数；C项：95-68=27，不是7的倍数，排除；D项：95-75=25，不是7的倍数，排除，答案选择B项。

【方法二】

从分母看，乙派出所的出警次数/4个派出所合计出警次数=7/40，4个派出所合计出警次数是40的倍数，甲派出所的出警次数是4个派出所合计出警次数的一部分，4个派出所合计出警次数=甲派出所的出警次数+乙、丙、丁派出所的出警次数和=甲派出所的出警次数+140，即（甲派出所的出警次数+140）是40的倍数，40的倍数尾数一定为0，甲派出所的出警次数+140=尾数0，则甲派出所的出警次数尾数为0，只有B项满足。【选B】

【例2】

学校买来四种教材，语文教材是其余三种的1/4，数学教材是其余三种的3/7，英语教材是其余三种的7/13，科学教材比数学教材少30本，则数学教材有：

A.30本    

B.60本

C.100本   

D.200本

【解析】

【方法一】：

给了四种教材，有同学会想到设未知数，但是设未知数没有接下来讲的方法快。问的是数学教材，找与数学教材相关的条件，已知“数学教材是其余三种的3/7”，出现比例，数学教材/其余三种=3/7，数学教材是3的倍数。A项：各位数之和=3+0=3，是3的倍数；B项：各位数之和=6+0=6，是3的倍数；C项：各位数之和=1+0+0=1，不是3的倍数，排除；D项：各位数之和=2+0+0=2，不是3的倍数，排除；代入A项：如果数学教材30本，则科学教材是0本，而题干说“买来四种教材”，科学教材不能是0本，排除A项，答案选择B项。

【方法二】

方程的思路，如果设四个未知数非常复杂。不能将“其余三种”设未知数，“其余三种”是一个代词，会随着主语的变化而变化，如“语文教材是其余三种的1/4”，其余三种指的是数学、英语、科学教材；“数学教材是其余三种的3/7”，其余三种指的是语文、英语、科学教材，两个“其余三种”指代的就不一样，所以不能设“其余三种”为未知数。

语文教材/其余三种=1/4，语文教材/总数=1/5；数学教材/其余三种=3/7，数学教材/总数=3/10；英语教材/其余三种=7/13，英语教材/总数=7/20，科学教材/总数=1-1/5-3/10-7/20=（20-4-6-7）/20=3/20。已知“科学教材比数学教材少30本”，即总数*（3/10）-总数*（3/20）=30，解得总数=200本，数学教材=200*（3/10）=60本，对应B项。【选B】

【注意】

1、3/9的倍数：看各位数字之和能否被3/9整除。

例：判断14235能否被3/9整除，各位数字之和=1+4+2+3+5=15，15是3的倍数，则14235能被3整除；15不是9的倍数，则14235不能被9整除。

2、（1）技巧：A占其它数总和的M/N，则A占所有数总和的M/（N+M）。

（2）理解：A为M份，其它数总和为N份，则A占其它数总和的M/N；A为M份，所有数总和=其它数总和+A=N份+M份=（N+M）份，则A占所有数总和的M/（N+M）。

（3）练习：

①甲占其他人总和的1/3，则甲占所有人总和的1/4。

②甲占其他人总和的2/5，甲是2份，其他人总和是5份，所有人总和为2+5=7份，则甲占所有人总和的2/7。

③甲占其他人总和的3/7，则甲占所有人总和的3/10。

（4）其它数总和会随着主语改变而改变，但是所有数总和是不变的，可以设所有数总和为未知数。

【例3】

甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一半，乙带的钱是另外三个人的1/3，丙带的钱是另外三个人的1/4，丁带了91元，他们一共带了（  ）元。

A.364                          

B.380

C.420                          

D.495

【解析】

问总钱数，出现“另外三个人”、分数，需要转化。本题套路性很强，差不多有90%的同学做对了，但是有些同学可能做得不够快。刚刚的题目先算比例，再算总数，当成一个填空题把答案算出来，对于刚才的题目比较合理。但是本题求总量，转化比例之后总量的倍数直接就可以看出来。根据“甲带的钱是另外三个人总和的一半”，则甲/总数=1/3，总数是3的倍数，A项：3+6+4=13，不能被3整除；B项：3+8=11，不能被3整除；C项：4+2=6，可以被3整除；D项：4+9+5=18，可以被3整除；A、B项不是3的倍数，排除。根据“乙带的钱是另外三个人的1/3”，则乙/总数=1/4，总数是4的倍数，4的倍数一定是偶数，排除D项，对应C项。【选C】

【注意】

4的倍数看末两位。比如判断1994是否是4的倍数。100是4的倍数，所以1900一定是4的倍数，只需要判断94是否是4的倍数，94不是4的倍数，所以1994不是4的倍数。

【例4】

某研究团队开展小学生身体健康状况调查活动，需要从某市三所小学中抽取部分小学生组成研究样本，其中实验小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的五分之一，解放路小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的二分之一，精英小学抽取的人数为180人，那么三所小学合计抽取多少人？

A.540                         

B.480

C.360                          

D.280

【解析】

给了占其他的比例，求总量。根据“实验小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的五分之一”，则实验小学/总量=1/6；“解放路小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的二分之一”，则解放路小学/总数=1/3。所以总数是3、6的倍数，D项：2+8=10，不能被3整除，排除D项；A、B、C项都是3的倍数，且都是偶数，所以都是6的倍数。无法通过总量排除直接得到答案，根据已知比重可知：精英小学/总数=1-1/6-1/3=1/2，总数=2*精英小学=360人。【选C】

【例5】

林华全家是阅读爱好者，家里有各种书籍，版本也多。已知他家有五分之三的书是中文版的，六分之一是英文版的，八分之一是中英文互译版的，还有多于11本但少于17本是其他版本的，问他家有多少本英文版书？

A.72本                         

B.20本

C.15本                         

D.13本

【解析】

题目中出现比例和取值范围，但是没有给出具体值，问英文版的数量。如果想列方程，必须要有具体值，但是本题没有具体值，所以从比例上考虑，倍数问题。根据“五分之三的书是中文版的”，即中文版/总数=3/5；“六分之一是英文版的”，即英文版/总数=1/6；“八分之一是中英文互译版的”，即互译版/总数=1/8。

【方法一】

其他版本=1-3/5-1/6-1/8，5、6、8通分后分母是120，其他版本=13/120，说明其他版本是13的倍数，总数是120的倍数。其他版本=13N，“多于11本但少于17本”表示位于12～16之间，所以只能取13。则总数=120本，英文=120*1/6=20本。

【方法二】

中文版/总数=3/5，英文版/总数=1/6，互译版/总数=1/8。分母都是总数，则总数是5、6、8的公倍数，5、6、8的公倍数=120，则总数=120x，英文版=120x*1/6=20x，尾数为0，对应B项。【选B】

【注意】

1、中英文互译说明书上是一行中文一行英文，和中文版、英文版是不同的版本。

2、方法二是选择题的思维，直接根据倍数关系解题。

3、四个选项加和=120，这种思维在考场时间紧张的情况下想不到，只有下了考场才能意识到。

4、“六分之一是英文版的”，说明总数是6的倍数，英文版是1的倍数。

【知识点】比例的常见形式

1、男生是女生的3/5（分数）。

2、男生与女生之比3：5（比例）。

3、男生是女生的60%（百分数）。60%=60/100=3/5。

4、男生是女生的0.6倍（倍数）。0.6=6/10=3/5。

5、考场看见比例关系，问分子或者分母，都可以往这个方向想。

【例6】

调酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入120毫升柠檬汁，再用伏特加补满，摇匀后倒出80毫升混合液备用，再往杯中加满番茄汁并摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特加的比例是24%，问调酒杯的容量是多少毫升？

A.160  

B.180

C.200  

D.220

【解析】

最后的酒中既有柠檬汁，又有伏特加，还有番茄汁，最后伏特加/鸡尾酒=24%，问题问的是调酒杯的容量，与这个比例有关系，加满番茄汁后鸡尾酒就调好了，所以鸡尾酒的量就是调酒杯的容量，即求这个比例中的分母。题目中有比例关系，问题与比例有关，就是考比例关系，24%=24/100=6/25=伏特加/（  ），（  ）是25的倍数，25的倍数看末两位，观察发现A、B、D项都不可以被25整除，只有C项可以被25整除，对应C项。【选C】

【注意】

1、4和25的倍数都看末两位，比如判断1995是否为25的倍数，1900=19*100，所以1900一定是25的倍数，只需要看95是否为25的倍数即可。

2、有些同学觉得容量不一定是整数，的确有这种可能，但是在考场上，不可能又重新列方程去计算。用倍数的思路想问题时，如果觉得答案可能是小数，而不一定是整数倍，可以代入选项验证，比如本题C项正确的概率很大，如果不放心，可以代入验证，但是验证的性价比很低。

3、本题表述“往杯中加满番茄汁”，所以调酒杯是满杯的。

4、不可以根据分母是100的倍数选答案，比如甲/乙=6000/10000，不能说甲一定是6000的倍数，乙一定是10000的倍数，假设甲是3，乙是5，也符合这个比例，所以如果不限制为比例的最简形式，则比例可能有无限种。

【例7】

某企业预计今年营业收入增长15%，营业支出增长10%，营业利润增加600万元。已知该企业去年的营业利润为1000万元，则其今年的预计营业支出是

A.9000万元   

B.9900万元

C.10800万元  

D.11500万元

【解析】

问的是支出，条件中与支出相关的条件为“营业支出增长10%”，则今年的支出/去年的支出=110/100=11/10，则今年的支出一定是11的倍数，11的倍数没有特别快的判断方法，可以直接除，只有B项是11的倍数。【选B】

【注意】

1、增长10%，就是在原来100的基础上增加10，去年为100，则今年为110。

2、如果问题改为今年的收入是多少，今年的收入不是15的倍数，去年的收入为100，今年的收入为115，今年的收入/去年的收入=115/100=23/20，则今年的收入是23的倍数，只有D项符合。

3、猜题小技巧：以坑治坑，出现今年和去年，有可能把时间错误的答案也放在选项中，问的是今年的支出，今年的支出：去年的支出=11：10，只有A项：B项符合这个关系，可以猜测答案为B项。

4、很多同学列方程反而可能误选A项，因为都喜欢设置去年的支出为x，但最后问题问的是今年的支出，这样就容易掉坑。

5、设去年的支出设为x，则今年的支出=1.1x，收入=支出+利润，去年的收入=1000+x，今年的收入=1.1x+1600，列式：（1000+x）*（1+15%）=1.1x+1600，解得：x=9000，即去年的支出为9000，要注意问的是今年的支出，为9900。如果设今年的支出为x，则去年的支出为x/1.1，这样很容易算出，所以一般设去年的支出为x。