行测小讲堂
立体拼合、截面图、三视图解题实用技巧!
立体拼合、截面图、三视图解题实用技巧!
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“立体拼合”实用技巧

1.题型判定

提问:题干中完整图形是由残缺图形与哪个选项共同构成?

题干:给出一个完整图形及几个残缺图形(如下图所示)。



2.解题思路

凹凸一致,有凹必有凸,有凸必有凹。具体要考虑两个方面:

(1)凹进去的部分与凸出来的部分形状相同,如上图中图2与图3可拼合为图1。

(2)凹进去的部分与凸出来的部分对应长度相同。


 粉笔小贴士 

立体拼合题目可以先观察题干和选项的“凹凸”部分的形状,通常情况下可以排除1-2个错误选项,再对剩余选项拼合的部分进行长度上的比较。


   例题演练  

【例1】(2021四川)要想使右侧图形在不旋转的情况下拼合成左侧的正方体造型,还需在问号处添加的图形是:



【题型判定】通过问题可直接判断题型为立体拼合,即选项图形可以和右边图形拼合成正方体。

【题目分析】本题考查立体拼合。观察发现,右侧四个图形包含左侧正方体的所有外表面(可通过12个直角三角形面进行判断),因此“?”处图形无法与直角三角形面进行拼合,需与右侧四个图形中非直角三角形面(4个)进行拼合,只有D项符合。具体拼合如下图所示:


故正确答案为D。


 粉笔小贴士 

 1.立体拼合题目无需观察整体是否可以拼合,只需观察图形特殊的“凹凸”的部分,同时要多利用排除法做题。

2.立体拼合的题目需要明确所需拼合的图形是否能够旋转或翻转,注意题干所提供的信息。


【例2】(2020国考)左图给定的是由相同正方体堆叠而成多面体的正视图和后视图。该多面体可以由①、②和③三个多面体组合而成,问以下哪一项能填入问号处?



【题型判定】通过问题可判定本题考查立体拼合,即选项与图形①②共同拼合成左边的立体图形。

【题目分析】本题考查立体拼合。


观察题干给出的多面体可知,横行和竖列最多均有4个正方体,其中②最下方为4个正方体,①最下方可以拼为4个正方体,则①和②正方体数量最多的行列会放置在主视图的左后方。根据题干后视图可知,第二层最多有3个小立方体,①第二行有3个小立方体,所以①在后视图的最前面,并且②最下面多出来的正方体可以和①最下方缺少的正方体进行拼合,如上图所示。拼合后可知,第二层缺少3个正方体,排除C、D两项。对比A、B两项可知,下层的正方体位置不同,①②拼合后最左侧不缺正方体,据此B项当选。

故正确答案为B。


 粉笔小贴士 

1.小方块立体拼合的题目近年来频繁出现,是命题的趋势,如果选项小方块数量不同,可先根据小方块的数量进行排除。

2.优先找块数最多或者形状特殊(和立体图形的某一部分相同)的开始拼,能确定一些位置后,可以再“分层”去找一些缺块。

3.当选项图形与题干残缺图形无法满足“凹凸一致”的原则时,可尝试将题干图形或选项图形进行简单的旋转与翻转,再利用“凹凸一致”原则进行验证。



“截面图”必会技巧

1.题型判定

提问:题干中给出一个立体图形,问哪项能够(或不能)成为其截面。

题干:给出一个立体图形,通常会具体描述立体图形的形状。

例:一立方体如图所示从中挖掉一个圆锥体,然后从任意面剖开,下面哪一项不可能是该立方体的截面?


截面图-指的是被切部分的形状。

剖视图-假想用一个剖切平面将物体剖开,移去介于观察者和剖切平面之间的部分,对于剩余部分向投影面所做的正投影图。


 粉笔小贴士 

截面图与剖视图的区别要重点掌握,大多的考试题目考查的都是截面图,剖视图常作为迷惑项出现。


2.解题思维

(1)解题原则:一刀切。①一刀切到底;②不能拐弯。

(2)常见立体图形截面(以最常见的六面体、圆柱、圆锥、圆台等基础图形为例)

截面图给出的立体图形一般是基础图形的组合(如立方体+圆锥),因此掌握常见立体图形的截面是做题的基础。

①六面体

a.矩形(拦腰切、上下切、斜切)


b.梯形(斜切)


c.三角形(从棱上的某一点开始斜着切到面)


需要注意,六面体只能切出锐角三角形,无法切出直角、钝角三角形。

②圆柱

a.圆(横切);b.椭圆(斜切);c.矩形(竖切)


③圆锥

a.圆(横切);b.椭圆(斜切);c.三角形(竖切过顶点)


④圆台

a.圆(横切);b.椭圆(斜切);c.梯形(竖切)




 粉笔小贴士 

1.题目中选项图形的切割方向主要集中在横切、竖切和斜切上,因此要掌握基础图形沿这三种方向所切出的图形形状。

2.圆柱、圆锥、圆台横着切均是“圆”,斜着切均是“椭圆”。需要特别注意的是圆柱从上向下斜着切两侧是曲线,而不是直线。


   例题演练  

【例1】(2023浙江)左图为给定的多面体,将其从任一面剖开,哪项不可能是该多面体的截面?



【题型判定】通过问题可以判断本题考查截面图,要求选出的是不可能成为截面的选项。

【题目分析】本题考查截面图,逐一分析选项。

A项:如下图所示,可以截出,排除;


B项:如下图所示,可以截出,排除;


C项:如下图所示,可以截出,排除;


D项:无法截出,当选。

本题为选非题,故正确答案为D。


【例2】(2022国考)左图是给定的空心立体图形,将其从任一面剖开,以下哪项可能是该立体图形的截面?


【题型判定】通过问题可以判断本题考查截面图,要求选出的是可能成为截面的选项。

【题目分析】本题考查截面图,逐一分析选项。

A项:无法切出,排除;

B项:从图形上半部分横着切,经过中间空心部分即可得到,当选;


C项:无法切出,排除;

D项:无法切出,排除。

故正确答案为B。



 粉笔小贴士 

1.截面题题目问题多要求选择“不可能”的截面选项;

2.当整体无法判断图形的截面图时,可分解成基础图形进行判断;

3.熟练掌握常见的六面体、圆柱、圆锥、圆台等基础图形的各种截面形状。



“三视图”做题思路

1.题型判定

提问:从所给四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定规律性:

题干:给出立体图形以及它的三视图(如下图所示)。


立体图形的三视图分为主视图(从正面看)、俯视图(从头顶向下看)以及左视图(从左侧看),如下图所示:



上图中,图(1)为左视图,图(2)为主视图,图(3)为俯视图。



 粉笔小贴士 

三视图题目的提问方法虽然与图形推理中平面规律的提问方法相同,但题干图形的特征较为明显,通常会出现一个立体图形和两个三视图。

实际做题中,出题人不一定会严格按照左视、俯视、主视的角度来考查,可能出现右视图(从右向左)和仰视图(从下向上)等,要具体情况具体分析。


2.解题思维

(1)所有的三视图都是平面图。若选项中出现立体图形,则一定错误。

(2)原图有线就有线,原图没线就没线。


如上图所示,图1和图2都是从立体图形左前方往右后方观察的,立体图形上方内部明显无横线,所以三视图也应无横线,图1正确,图2错误。

(3)当被遮挡住时,看不见被遮挡部分。


如上图所示,图1、图2以及图3都是从立体图形左前方往右后方观察的,需要分两种情况进行讨论:①若只有图1和图2,得出的应是图1,因为后面的矩形应被前方的图形遮挡,被遮挡的部分应用虚线表示;②若只有图2和图3,得出的应是图3,被遮挡的部分用虚线表示最严谨,若没有用虚线表示,则被遮挡的部分应不画出来。

(4)有些角度下弧会被压平。


如上图所示,图1是圆柱体的俯视图,图2是圆柱体的主视图、左视图以及右视图。



 粉笔小贴士 

三视图中被遮挡的部分是否应画虚线,需要从题干已知图形进行判断,与题干已知图形保持一致即可。

当立体图形出现曲线时,要注意当观察角度(视线的方向)与曲线在同一水平线时,则观察到的应是直线。


   例题演练  

【例1】(2023安徽)下方为某一立体图形的侧视图、正视图和顶视图,请从下列选项中选出与之符合的一项:



【题型判定】通过题目问题可直接判定本题考查三视图。

【题目分析】本题考查三视图,逐一分析选项。

A项:选项的正视图、顶视图如下图所示,与题干不符,排除;


B项:选项的侧视图、顶视图如下图所示,与题干不符,排除;


C项:选项的侧视图、正视图和顶视图,均与题干相符,当选;

D项:选项的侧视图、顶视图如下图所示,与题干不符,排除。


故正确答案为C。


【例2】(2023广东)某物体由两个相同的正三棱柱组合而成,则其侧面轮廓最不可能是(    )。



【题型判定】通过题目问题可直接判定本题考查三视图。

【题目分析】本题考查三视图。

本题考查三视图。如下图所示,A、B、C三项按图示摆放,从侧面均可看到图形轮廓,排除;D项无法看到,当选。


本题为选非题,故正确答案为D。



小粉笔总结

立体拼合、截面图与三视图三种题型的考试内容相对固定,立体拼合题目要遵循“凹凸一致”的解题原则,遇到小方块的拼合题目,当选项小方块数不同时,优先考虑小方块数;截面图除了要掌握截面图与剖面的区别,更要掌握“一刀切”的解题原则,最重要的是常见基础图形的截面形状,即使是难题也可以转换成基础图形再去研究;三视图要了解解题的思路,尤其是立体图形出现遮挡和曲线时,要注意细节的判断。

最后,希望同学们能通过学习,掌握好立体拼合、截面图以及三视图的做题方法和技巧,在备考过程中不断练习,攻克难点,在考场中顺利得分!

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