最值问题

最不利构造类

（一）题型特征

问法中出现“至少……保证……”或类似表述。

（二）解题思路

①找出最不利情况，即在题目所要“保证……”的要求不被实现的情况下，尽可能地取到最多；

②答案=最不利情况+1。

构造数列类

（一）题型特征

题目中的总量一定，问法为“最多/少的……至多/少……”“排名第N的至多/少……”。

（二）解题思路

①排序定位：根据主体大小依次排序；

②反向构造：要使某个值尽可能大，则其他的数应尽可能小；反之，要使某个值尽可能小，则其他的数应尽可能大；

③加和求解：总数一定，全部加和求解答案。

（三）注意事项

最后计算出来的结果是非整数时，不能四舍五入，需要结合题干的问法进行判断。若问最少，计算后应该向上取整；若问最多，计算后应该向下取整。比如：最后计算结果是7.5，若问最少，则结果应该选8；若问最多，则结果应该选7，这就是向上、向下取整的意思。

最值思维类

（一）题型特征

根据题干可列出不定方程（组），和为定值，问其中一部分最多/最少是多少。

（二）解题思路

①此消彼长；

②找极端情况。

溶液问题

溶液混合类

（一）题型特征

溶液混合问题一般难度不大，且命题有一定套路性，常考的有两溶液混合与三溶液混合。

（二）解题思路

①两种溶液混合时，若已知混合前两种溶液的浓度，用线段法（混合之前写两边，混合之后写中间；距离（浓度差）与量（溶液的重量）成反比，看好份数认真算）；

②两种溶液混合时，若不知混合前两种溶液的浓度，用公式法(浓度=溶质/溶液)；

③三种溶液混合时，建议用公式法。

溶质不变类

（一）题型特征

当浓度问题中出现某种溶液蒸发掉一部分水，或出现在溶液中加水，但溶质的质量不变，此时即为溶质不变类浓度问题。

（二）解题思路

①没有出现具体数值，设溶质为一个不变量；

②利用溶质不变建立等量关系，原来的溶质=现在的溶质。

溶液不变类

（一）题型特征

当浓度问题中出现将某种浓度的溶液倒出一部分后再加满水，来回反复保持溶液总量不变，或出现将两种浓度不同的溶液相互倒出若干次，但每种溶液总量保持不变，此时即为溶液不变类浓度问题。

（二）解题思路

①浓度为r的溶液，倒出a%，再加满水，浓度会变成r×（1-a%）；

②溶液不变，只分析溶质变化即可。

计数问题

方阵问题

（一）题型特征

若干个主体排列成方阵，求主体的个数。

（二）解题思路

①正方形方阵边长为n，则最外层人数=4n-4；长方形方阵长边为a，短边为b，则最外层人数=2（a+b）-4；

②正方形方阵边长为n，则实心正方形方阵的总人数=；长方形方阵长边为a，短边为b，则实心长方形方阵的总人数=a×b；

③相邻两层人数相差为8。此结论在空心方阵计算总人数时会用到。

方阵问题套路性强，掌握方法即可解题。计算总人数时，可理解为求四边形的面积，正方形为，长方形为a×b。另外，解题时若没有明确说是空心方阵，则一般默认为实心方阵。

植树问题

（一）题型特征

在道路两边植树或摆放物品、安装路灯等，求种植棵数（摆放个数、安装个数）。

（二）解题思路

求不移动棵数时，若是两端植树，则=最大公约数+1；若是单端植树，则=最大公约数；若是楼间植树，则=最大公约数-1。